Công thức tính thể tích hình trụ là kiến thức quan trọng, không chỉ trong học tập mà còn trong nhiều ứng dụng thực tiễn. Bài viết này TheTichHinhTru sẽ hướng dẫn bạn nắm vững cách tính thể tích hình trụ, đồng thời giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
1. Định nghĩa
Hình trụ là một khối hình học không gian được tạo ra khi một hình chữ nhật quay quanh một cạnh cố định. Nói cách khác, hình trụ có thể được hình dung như một khối hình học với hai đáy là hai hình tròn song song và bằng nhau, được nối liền bởi một mặt cong.
Các thành phần chính của hình trụ:
- Đáy: Hai hình tròn song song và bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ. Chúng có cùng bán kính.
- Bán kính đáy (r): Khoảng cách từ tâm của hình tròn đáy đến một điểm bất kỳ trên đường tròn đáy.
- Chiều cao (h): Khoảng cách vuông góc giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy.
- Mặt xung quanh: Mặt cong bao quanh hai đáy, tạo thành bề mặt ngoài của hình trụ.
Ví dụ thực tế:
- Một lon nước ngọt có hình dạng giống một hình trụ, với phần trên và dưới là hai đáy hình tròn và phần thân bao quanh là mặt xung quanh.
- Một ống nước hoặc cột trụ bê tông cũng có hình dạng tương tự.
2. Công thức tính thể tích hình trụ
Thể tích hình trụ là không gian mà hình trụ chiếm trong không gian ba chiều. Công thức tính thể tích hình trụ được xác định dựa trên diện tích mặt đáy và chiều cao của hình trụ.
Công thức:
Thể tích hình trụ được cho bởi: V = π.r².h
Trong đó:
- V: Thể tích hình trụ.
- r: Bán kính đáy (bán kính của hình tròn đáy).
- h: Chiều cao của hình trụ (khoảng cách giữa hai đáy).
- π: Hằng số pi, với giá trị xấp xỉ 3.14159.
Ý nghĩa của công thức:
Công thức này được xây dựng dựa trên việc nhân diện tích mặt đáy (là diện tích hình tròn, πr²) với chiều cao của hình trụ (h). Điều này tương tự như việc tính thể tích của một khối hộp chữ nhật, trong đó diện tích đáy nhân với chiều cao cho ra thể tích.
3. Chứng minh công thức thể tích hình trụ
Để hiểu rõ hơn về công thức thể tích hình trụ, ta có thể chứng minh nó dựa trên nguyên lý tính tích phân hoặc cách tiếp cận hình học.
Cách tiếp cận hình học:
Hình trụ có thể được hình dung là tập hợp các hình tròn đồng tâm xếp chồng lên nhau theo chiều cao. Mỗi hình tròn có bán kính bằng nhau là r, và số lượng hình tròn này phụ thuộc vào chiều cao h:
- Diện tích của một mặt đáy là S = πr².
- Nếu ta “xếp” diện tích đáy này theo chiều cao h, ta sẽ có toàn bộ thể tích hình trụ: V = S × h = πr²h.
Cách tiếp cận tích phân:
Ta có thể xem hình trụ như một vật thể quay quanh trục:
- Xét một hình chữ nhật có chiều rộng r và chiều cao h quay quanh trục song song với chiều dài. Khi quay, hình chữ nhật này tạo thành một hình trụ.
- Tính thể tích bằng tích phân: V = ∫(πy²) dy, trong đó y chạy từ 0 đến h.
- Thực hiện tích phân, ta thu được: V = πr²h.
4. Mối liên hệ giữa thể tích và các đại lượng khác
Khi tính thể tích hình trụ, chúng ta có thể thấy mối liên hệ rõ ràng giữa các thành phần của nó:
- Bán kính đáy (r): Thể tích tỷ lệ thuận với bình phương của bán kính. Nếu bán kính tăng gấp đôi, thể tích sẽ tăng lên gấp 4 lần.
- Chiều cao (h): Thể tích tỷ lệ thuận với chiều cao. Nếu chiều cao tăng gấp đôi, thể tích cũng tăng gấp đôi.
- Hằng số π: Hằng số π xuất hiện do diện tích hình tròn. Giá trị của π không thay đổi, nhưng nó giúp xác định thể tích chính xác.
5. Một số trường hợp đặc biệt của hình trụ
Hình trụ rỗng: Hình trụ rỗng là hình trụ có một lỗ tròn bên trong. Để tính thể tích của hình trụ rỗng, ta lấy thể tích của hình trụ lớn trừ đi thể tích của hình trụ nhỏ bên trong:
V = πR²h – πr²h = πh(R² – r²), trong đó R là bán kính ngoài, và r là bán kính trong.
Hình trụ xiên: Hình trụ xiên là hình trụ mà các đường sinh không vuông góc với đáy. Công thức tính thể tích hình trụ xiên vẫn giống với hình trụ đứng, miễn là chiều cao được tính theo khoảng cách vuông góc giữa hai đáy.
4. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Một lon nước ngọt có bán kính đáy là 3 cm và chiều cao là 10 cm. Tính thể tích của lon nước ngọt.
Lời giải:
– Bán kính đáy: r = 3 cm.
– Chiều cao: h = 10 cm.
– Áp dụng công thức: V = πr²h = π(3²)(10) = π(9)(10) = 90π cm³.
– Thay π ≈ 3.14, ta có: V ≈ 90 × 3.14 = 282.6 cm³.
Thể tích của lon nước ngọt là khoảng 282.6 cm³.
Bài tập 2. Quan sát hình trụ đã cho dưới đây
Hãy tính thể tích hình trụ này.
Lời giải
Từ hình vẽ cho ta thấy:
- Chiều cao: h = 10 cm = 0,1 m
- Đường kính d = 8 cm = 0,08 m ⇒ Bán kính $r = \frac{d}{2} = \frac{{0,08}}{2} = 0,04\left( m \right)$
Thể tích hình trụ: $V = \pi .{r^2}.h$ $ = \pi .0,{04^2}.0,1$ $ = 5,{026.10^{ – 4}}\left( {{m^3}} \right)$
Bài tập 3. Ngày nay ở thành phố, người ta thường nuôi cá bằng một ống thủy tinh có dạng hình trụ. Bể cá này thường đặt ở bàn học hay bàn làm việc rất phù hợp. Khi mua người bán nói rõ kích thước của bể cá này là đường kính 20 cm và chiều cao 40 cm. Hỏi tối đa người mua cần đổ bao nhiêu nước thì bể cá này đầy.
Lời giải
Vì bể cá có dạng hình trụ nên thể tích bể cá được tính theo công thức: V = π.r².h
theo đề:
- Đường kính d = 20 cm ⇒ bán kính $r = \frac{d}{2}$ $ = \frac{{20}}{2}$ $ = 10\left( {cm} \right)$ $ = 0,1\left( m \right)$
- Chiều cao của bể: h = 40 cm = 0.4 (m)
Khi đó, thể tích bể cá: $V = \pi .{r^2}.h$ $ = \pi .0,{1^2}.0,4$ $ = 0,0126\left( {{m^3}} \right)$
Bài tập 4. Một cột trụ bê tông có bán kính đáy là 0.5 m và chiều cao là 2 m. Tính thể tích của cột trụ.
Lời giải:
– Bán kính đáy: r = 0.5 m.
– Chiều cao: h = 2 m.
– Áp dụng công thức:
V = πr²h = π(0.5²)(2) = π(0.25)(2) = 0.5π m³.
– Thay π ≈ 3.14, ta có:
V ≈ 0.5 × 3.14 = 1.57 m³.
Thể tích của cột trụ bê tông là 1.57 m³.
Bài tập 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 1 cm. Tính thể tích của khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
Lời giải
Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có mặt đáy là hình vuông, độ dài cạnh là a = 1 cm.
Đường chéo của hình vuông ABCD: $AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} $ $ = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \left( {cm} \right)$ $ \Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {cm} \right)$
AO cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Mặt khác, chiều cao khối trụ có độ dài là a = 1 (cm) = 0,01 (m)
Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ:
$V = \pi .{r^2}.h$ $ = \pi .{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.0,01$$ = \frac{\pi }{{200}}$$ = 0,0157\left( {{m^3}} \right)$
Bài tập 6: Một bể chứa nước hình trụ có đường kính đáy là 4 m và chiều cao là 5 m. Tính thể tích của bể chứa.
Lời giải:
– Đường kính đáy: d = 4 m, suy ra bán kính: r = d/2 = 2 m.
– Chiều cao: h = 5 m.
– Áp dụng công thức:V = πr²h = π(2²)(5) = π(4)(5) = 20π m³.
– Thay π ≈ 3.14, ta có: V ≈ 20 × 3.14 = 62.8 m³.
Thể tích của bể chứa nước là 62.8 m³.
Bài tập 7. Các kích thước của một vòng bi cho trên hình vẽ. Hãy tính “thể tích” của vòng bi (phần giữa hai hình trụ).
Lời giải
Thể tích cần phải tính bằng hiệu các thể tích V2, V1 của hai hình trụ có cùng chiều cao h và bán kính các đường tròn đáy tương ứng là a, b.
Ta có: V = V2 – V1 = π.a2.h – π.b2.h = π(a2 – b2).h
Bài tập 8. Đường ống nối hai bể cá trong một thủy cung ở miền nam nước Pháp có dạng một hình trụ, độ dài của đường ống là 30m. Dung tích của đường ống nói trên là 1 800 000 lít.
Tính diện tích đáy của đường ống.
Lời giải
Theể tích hình trụ V = 1800000 (lít) = 1800 m3
Theo đề thì, chiệu cao hình trụ h = 30m.
Từ công thức V = S.h
suy ra: $S = \frac{V}{h} = \frac{{1800}}{{30}} = 60\left( {{m^2}} \right)$
Tóm lại: Thể tích hình trụ, được tính bằng công thức \(V = \pi r^2 h\), là một khái niệm cơ bản nhưng mang lại giá trị ứng dụng cao trong toán học và thực tế. Hiểu rõ công thức này giúp chúng ta dễ dàng giải quyết các bài toán, từ đo lường dung tích vật thể đến thiết kế kỹ thuật. Đây cũng là nền tảng quan trọng để tiếp cận các khối hình học phức tạp hơn trong không gian ba chiều.